C2 DETEST

Equations:

$$\begin{align}\dot{x}_{0}&=- x_{0}\\\dot{x}_{1}&=x_{0} - 2.0 \cdot x_{1}\\\dot{x}_{2}&=2.0 \cdot x_{1} - 3.0 \cdot x_{2}\\\dot{x}_{3}&=3.0 \cdot x_{2} - 4.0 \cdot x_{3}\\\dot{x}_{4}&=4.0 \cdot x_{3} - 5.0 \cdot x_{4}\\\dot{x}_{5}&=5.0 \cdot x_{4} - 6.0 \cdot x_{5}\\\dot{x}_{6}&=6.0 \cdot x_{5} - 7.0 \cdot x_{6}\\\dot{x}_{7}&=7.0 \cdot x_{6} - 8.0 \cdot x_{7}\\\dot{x}_{8}&=8.0 \cdot x_{7} - 9.0 \cdot x_{8}\\\dot{x}_{9}&=9.0 \cdot x_{8}\end{align}$$

Description:

A radioactive decay chain; Bateman's equation with different decay constants. Please note that the supplied exact solution is correct only for certain initial conditions (e.g., those from the IVPs).
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Keywords:

decoupled

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Plots:

C5 WPD

IVP 60

Class: PILBNU

Initial conditions:

$$\begin{align}x_{0}(0)&=1.0\\x_{1}(0)&=0.0\\x_{2}(0)&=0.0\\x_{3}(0)&=0.0\\x_{4}(0)&=0.0\\x_{5}(0)&=0.0\\x_{6}(0)&=0.0\\x_{7}(0)&=0.0\\x_{8}(0)&=0.0\\x_{9}(0)&=0.0\end{align}$$

Exact Solution^*:

$$\begin{align}x_{0}(t)&=1.0 \cdot e^{- t}\\x_{1}(t)&=- 1.0 \cdot e^{- 2.0 \cdot t} + 1.0 \cdot e^{- t}\\x_{2}(t)&=1.0 \cdot e^{- 3.0 \cdot t} - 2.0 \cdot e^{- 2.0 \cdot t} + 1.0 \cdot e^{- t}\\x_{3}(t)&=- 1.0 \cdot e^{- 4.0 \cdot t} + 3.0 \cdot e^{- 3.0 \cdot t} - 3.0 \cdot e^{- 2.0 \cdot t} + 1.0 \cdot e^{- t}\\x_{4}(t)&=1.0 \cdot e^{- 5.0 \cdot t} - 4.0 \cdot e^{- 4.0 \cdot t} + 6.0 \cdot e^{- 3.0 \cdot t} - 4.0 \cdot e^{- 2.0 \cdot t} + 1.0 \cdot e^{- t}\\x_{5}(t)&=- 1.0 \cdot e^{- 6.0 \cdot t} + 5.0 \cdot e^{- 5.0 \cdot t} - 10.0 \cdot e^{- 4.0 \cdot t} + 10.0 \cdot e^{- 3.0 \cdot t} - 5.0 \cdot e^{- 2.0 \cdot t} + 1.0 \cdot e^{- t}\\x_{6}(t)&=1.0 \cdot e^{- 7.0 \cdot t} - 6.0 \cdot e^{- 6.0 \cdot t} + 15.0 \cdot e^{- 5.0 \cdot t} - 20.0 \cdot e^{- 4.0 \cdot t} + 15.0 \cdot e^{- 3.0 \cdot t} - 6.0 \cdot e^{- 2.0 \cdot t} + 1.0 \cdot e^{- t}\\x_{7}(t)&=- 1.0 \cdot e^{- 8.0 \cdot t} + 7.0 \cdot e^{- 7.0 \cdot t} - 21.0 \cdot e^{- 6.0 \cdot t} + 35.0 \cdot e^{- 5.0 \cdot t} - 35.0 \cdot e^{- 4.0 \cdot t} + 21.0 \cdot e^{- 3.0 \cdot t} - 7.0 \cdot e^{- 2.0 \cdot t} + 1.0 \cdot e^{- t}\\x_{8}(t)&=1.0 \cdot e^{- 9.0 \cdot t} - 8.0 \cdot e^{- 8.0 \cdot t} + 28.0 \cdot e^{- 7.0 \cdot t} - 56.0 \cdot e^{- 6.0 \cdot t} + 70.0 \cdot e^{- 5.0 \cdot t} - 56.0 \cdot e^{- 4.0 \cdot t} + 28.0 \cdot e^{- 3.0 \cdot t} - 8.0 \cdot e^{- 2.0 \cdot t} + 1.0 \cdot e^{- t}\\x_{9}(t)&=1.0 - 1.0 \cdot e^{- 9.0 \cdot t} + 9.0 \cdot e^{- 8.0 \cdot t} - 36.0 \cdot e^{- 7.0 \cdot t} + 84.0 \cdot e^{- 6.0 \cdot t} - 126.0 \cdot e^{- 5.0 \cdot t} + 126.0 \cdot e^{- 4.0 \cdot t} - 84.0 \cdot e^{- 3.0 \cdot t} + 36.0 \cdot e^{- 2.0 \cdot t} - 9.0 \cdot e^{- t}\end{align}$$

View test data:

Solver
Settings
Results

VNODE-LP

method: HOE
order: 10
abs. tolerance: 1e-12
rel. tolerance: 1e-12
min. stepsize: 1e-05

c4: t_c=0.06050
c5: t_us=0.05840 , e_us=1.498801083243961e-14
c6: t_bd=10.000000 , e_bd=2.494005002517952e-12

VNODE-LP

method: HOE
order: 15
abs. tolerance: 1e-12
rel. tolerance: 1e-12
min. stepsize: 1e-05

c4: t_c=0.08460
c5: t_us=0.08070 , e_us=2.563921297493721e-15
c6: t_bd=10.000000 , e_bd=2.051692149507289e-13

VNODE-LP

method: HOE
order: 20
abs. tolerance: 1e-12
rel. tolerance: 1e-12
min. stepsize: 1e-05

c4: t_c=0.10210
c5: t_us=0.09680 , e_us=1.110223024625157e-15
c6: t_bd=10.000000 , e_bd=6.328271240363392e-14

VNODE-LP

method: HOE
order: 5
abs. tolerance: 1e-12
rel. tolerance: 1e-12
min. stepsize: 1e-05

c4: t_c=1.09490
c5: t_us=1.08780 , e_us=7.622999453893442e-13
c6: t_bd=10.000000 , e_bd=1.522466597236871e-10

Generate graphics:

VNODE-LP

WPD for Problem 60

IVP 61

Class: PILBU

Initial conditions:

$$\begin{align}x_{0}(0)&\subset~\left[ 0.9, 1.1\right]\\x_{1}(0)&=0.0\\x_{2}(0)&=0.0\\x_{3}(0)&=0.0\\x_{4}(0)&=0.0\\x_{5}(0)&=0.0\\x_{6}(0)&=0.0\\x_{7}(0)&=0.0\\x_{8}(0)&=0.0\\x_{9}(0)&=0.0\end{align}$$

Exact Solution^*:

$$\begin{align}x_{0}(t)&\subset~e^{- t} \cdot \left[ 0.9, 1.1\right]\\x_{1}(t)&\subset~\left(- e^{- 2.0 \cdot t} + e^{- t}\right) \cdot \left[ 0.9, 1.1\right]\\x_{2}(t)&\subset~\left(e^{- 3.0 \cdot t} - 2.0 \cdot e^{- 2.0 \cdot t} + e^{- t}\right) \cdot \left[ 0.9, 1.1\right]\\x_{3}(t)&\subset~\left(- e^{- 4.0 \cdot t} + 3.0 \cdot e^{- 3.0 \cdot t} - 3.0 \cdot e^{- 2.0 \cdot t} + e^{- t}\right) \cdot \left[ 0.9, 1.1\right]\\x_{4}(t)&\subset~\left(e^{- 5.0 \cdot t} - 4.0 \cdot e^{- 4.0 \cdot t} + 6.0 \cdot e^{- 3.0 \cdot t} - 4.0 \cdot e^{- 2.0 \cdot t} + e^{- t}\right) \cdot \left[ 0.9, 1.1\right]\\x_{5}(t)&\subset~\left(- e^{- 6.0 \cdot t} + 5.0 \cdot e^{- 5.0 \cdot t} - 10.0 \cdot e^{- 4.0 \cdot t} + 10.0 \cdot e^{- 3.0 \cdot t} - 5.0 \cdot e^{- 2.0 \cdot t} + e^{- t}\right) \cdot \left[ 0.9, 1.1\right]\\x_{6}(t)&\subset~\left(e^{- 7.0 \cdot t} - 6.0 \cdot e^{- 6.0 \cdot t} + 15.0 \cdot e^{- 5.0 \cdot t} - 20.0 \cdot e^{- 4.0 \cdot t} + 15.0 \cdot e^{- 3.0 \cdot t} - 6.0 \cdot e^{- 2.0 \cdot t} + e^{- t}\right) \cdot \left[ 0.9, 1.1\right]\\x_{7}(t)&\subset~\left(- e^{- 8.0 \cdot t} + 7.0 \cdot e^{- 7.0 \cdot t} - 21.0 \cdot e^{- 6.0 \cdot t} + 35.0 \cdot e^{- 5.0 \cdot t} - 35.0 \cdot e^{- 4.0 \cdot t} + 21.0 \cdot e^{- 3.0 \cdot t} - 7.0 \cdot e^{- 2.0 \cdot t} + e^{- t}\right) \cdot \left[ 0.9, 1.1\right]\\x_{8}(t)&\subset~\left(e^{- 9.0 \cdot t} - 8.0 \cdot e^{- 8.0 \cdot t} + 28.0 \cdot e^{- 7.0 \cdot t} - 56.0 \cdot e^{- 6.0 \cdot t} + 70.0 \cdot e^{- 5.0 \cdot t} - 56.0 \cdot e^{- 4.0 \cdot t} + 28.0 \cdot e^{- 3.0 \cdot t} - 8.0 \cdot e^{- 2.0 \cdot t} + e^{- t}\right) \cdot \left[ 0.9, 1.1\right]\\x_{9}(t)&\subset~\left(- e^{- 9.0 \cdot t} + 9.0 \cdot e^{- 8.0 \cdot t} - 36.0 \cdot e^{- 7.0 \cdot t} + 84.0 \cdot e^{- 6.0 \cdot t} - 126.0 \cdot e^{- 5.0 \cdot t} + 126.0 \cdot e^{- 4.0 \cdot t} - 84.0 \cdot e^{- 3.0 \cdot t} + 36.0 \cdot e^{- 2.0 \cdot t} - 9.0 \cdot e^{- t}\right) \cdot \left[ 0.9, 1.1\right] + \left[ 0.9, 1.1\right]\end{align}$$